Kangoeroe

Vandaag surveilleerde ik voor het eerst in mijn bestaan als leraar wiskunde bij de jaarlijkse kangoeroewedstrijd. De strijd bestaat uit het individueel oplossen van een keur aan korte wiskundige problemen, variërend van eenvoudig tot knap lastig, en van getaltheorie tot meetkunde. Ik had nog nooit zo'n opgave gemaakt, maar ik ben verkocht.

Hoe zou een leerling uit de brugklas nou het volgende probleem aanpakken: Neem twee getallen a en b waarvoor geldt dat a+b, axb (a keer b) en a/b (a gedeeld door b) dezelfde uitkomst hebben. Als ik me goed herinner was de vraag op hoeveel manieren dat kan. Bij de vijf alternatieven staat dan als mogelijkheid dat het op slechts één manier kan, en dat is het correcte antwoord. Maar hoe komt een brugger daar op?

Ik doe het volgende:

1. Uit a/b = axb volgt dat a = axbxb waaruit ofwel volgt dat bxb = 1 en dus dat b =1 of b= -1, ofwel dat a=0. Er blijven dus drie mogelijkheden over die we alle drie apart moeten onderzoeken.

2. Stel b=1. Dan volgt uit a+b = axb dat a+1 = a. Dat kan niet, dus b is geen 1. Eén mogelijkheid geëlimineerd.

3. Stel b=-1. Dan volgt uit a+b = axb dat a-1 = -a oftewel a = 1/2. Nu geldt a=1/2 en b=-1. Controle leert dat a+b = axb = a/b. Conclusie: a=1/2 en b=-1 is een goede oplossing.

4. Stel a=0. Dan geldt dat axb = 0 en dat a/b = 0. Dat lijkt goed te gaan, maar bij a+b gaat het mis, want als a=0 geldt a+b = b. Omdat a+b gelijk moet zijn aan axb en a/b geldt nu dat b gelijk moet zijn 0. Maar dat kan niet, want dan wordt a/b gelijk aan 0/0 en die breuk is niet gedefinieerd. Bovendien was b al 1 of -1. Kortom, a=0 is geen optie.

Er is dus slechts één oplossing. Waarbij en passant is aangetoond dat de wiskunde een vak is van een hemeltergende schoonheid.