dinsdag, oktober 02, 2007

0.9999999........... = 1

Elk jaar vertel ik in de brugklas twee verhalen. Eén van de verhalen is waar, het andere pertinent onwaar. De bruggers geloven eerst in het verkeerde verhaal en daarna geloven ze niets meer.
Het eerste verhaal is dat uit recent onderzoek blijkt dat niet alle minuten even lang duren. Meestal duurt een minuut keurig zestig seconden, zoals het hoort. Maar na zorgvuldige meting hebben ze in Parijs ontdekt dat er heel af en toe een minuut is die afwijkt van de norm. Zo'n minuut duurt dan 59,99999999567 seconden, of 60,000000000045. De kritische brugger vraagt nu: "Oh ja, en hoe meten ze dat dan?" Het antwoord dient met de juiste nadruk te worden uitgesproken: "met atoóómklokken." Aha, juist, atoomklokken. Nee, dan zal het wel kloppen. Het geloof is nu algemeen en onbetwijfeld.
Dan volgt de onthutsende vraag wie kan uitleggen waarom dit verhaal overduidelijk niet klopt. Na ruime stilte en aarzeling is er dan een slimmerik die ongeveer opmerkt dat een minuut per definitie zestig seconden duurt.
Na de conclusie dat je niet klakkeloos alles moet geloven wat een leraar zegt volgt nu het tweede verhaal.
Neem de decimale breuk 0,99999... en dan een oneindige rij negens. Oftewel: nul komma negen repetent. Deze breuk is precies gelijk aan 1. De bruggers zijn het hier meteen ernstig mee oneens. Op de vraag wat dan het verschil is tussen 0,9999.... en 1 komen ze met: "eerst een heeeeeleboel nullen en dan een één". "Hoeveel nullen precies dan?" Gekrakeel van jewelste.
De simpele oplossing dat 1/9 = 0,111111... en dat dus geldt dat 9/9 = 0.9999..... = 1 is juist en tegelijkertijd zodanig tegen de intuïtie dat sommigen tot in de derde klas blijven tegenstribbelen. Die stribbelaars, die gaan het ver schoppen. Net zover als degenen die onmiddellijk inzien dat de docent gewoon gelijk heeft.

3 Comments:

Blogger Marco said...

Meh ik ben het nog steeds niet mee eens...

0,9999 repetent is 1-(1/∞)
Het verschil tussen 0,999 repetent en 1 is dus oneindig klein. daar zit het juist... 'oneindig', 'oneindig' is namelijk nogal veel

en uw argument: 9x 1/9 = 9/9 = 1.
1/9 is wel 1,111 repetent, maar dat is slechts zo omdat we het niets anders kunnen noemen,
1/9 is namelijk gewoon het getal dat 1 is wanneer je het met 9 vermenigvuldigt, die kunnen we helaas alleen als 1/9 opschrijven.
in een wereld zonder y zouden we namelijk ook yoghurt schrijven als joghurt :D

en zeggen dat 0,111 repetent x9 1 is... dat is gewoon goochelen...
u moet niet doen alsof u een konijn uit een hoed kan halen als u gewoon konijnen door een hoed uit de bak eronder trekt :P

(Ik hoop dat u langzamerhand wel gewend bent geraakt aan mijn chaotische manier van redeneren en uitleg... en sorry voor mijn koppigheid maar u kunt me een maal niet genoeg overtuigen. :P)

6:12 p.m.  
Blogger Marco said...

hm sorry voor de lange bericht maar ik kon niet veel anders doen terwijl ik op een baby van 10 maanden pas xD

6:14 p.m.  
Anonymous Anoniem said...

p.s. Misschien dat u deze site wel leuk vindt: http://answers.yahoo.com
Dat is een soort van 'q's and a's' community, waar je dingen kan vragen en andermans vragen kan beantwoorden.
Iets voor u en de andere leraren? kunnen jullie lekker onwetende mensen verbeteren en een nog grotere zelfvertrouwen in uw kennis opbouwen!
Zelf heb ik ze over "0.9999999........... = 1" gevraagd! check maar op: http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20071211092800AAaKTeP&pa=FYd1D2bwHTHwLb1lHe47Sfs2_D.tWmBUq3DZ9kC1Crm83Q--&paid=asked&msgr_status=
(als u de link niet helemaal kan zien, moet u ctrl inhouden en dan scrollen. dan zoomt u in of uit. zoom uit en selecteer dat hele lange regeltje!)

*ja, ja, ik ben koppig!*

7:23 p.m.  

Een reactie posten

<< Home