Priemwoestijnen

Aan het begin van de getallenrij komen de priemgetallen met grote regelmaat voorbij: 2,3,5,7,11,13,17,19,23. Van de eerste 25 getallen zijn er 9 priem. Naarmate je verder gaat worden de gaten tussen de priemgetallen groter. Het eerste gat, 1 even daargelaten omdat het geen echt gat is, is 4, en is dus slechts één groot. Het derde gat, tussen 7 en 11 heeft al een omvang van 3, en de andere gaten in dit rijtje hebben ook steeds grootte 1 of 3. Worden ze wel echt groter? Waar komt het eerste gat van 4? Even verder dan maar met ons rijtje priemgetallen: 23, 29, ho stop. Meteen een gat van 5!

Zijn er ook gaten die groter zijn dan vijf? Laten we de gaten nu ze groter dreigen te worden maar woestijnen noemen, priemwoestijnen. Is er een priemwoestijn groter dan vijf? We vermoeden natuurlijk van wel, en er is er ook wel snel één te vinden door gewoon door te gaan op dezelfde weg.

Maar er is ook een trucje om er één te maken. Een priemwoestijn met een minimale grootte van 6 is snel te vinden op de volgende manier: vermenigvuldig de eerste zes getallen, gerekend vanaf 2, met elkaar en tel er 1 bij op. Dat zou best een priemgetal kunnen zijn, maar het hoeft niet. Tel nu bij het gevonden product niet 1 maar 2 op. Dat is zeker geen priemgetal, want het product heb ik gemaakt door iets anders met 2 te vermenigvuldigen, dat is dus deelbaar door 2, en als ik daar 2 bij op tel is het resultaat ook weer deelbaar door 2. Tel er nu eens 3 bij op. Het product heb ik gemaakt door iets anders met 3 te vermenigvuldigen, en als ik daar 3 bij op tel heb ik opnieuw een drievoud. Weer geheid niet priem. Tel er 4,5,6 of 7 bij op, en de redenering gaat opnieuw op. Maar dat betekent dat ik een rij van 6 opeenvolgende getallen heb gemaakt waar niet één priemgetal bijzit.

Even narekenen: 2x3x4x5x6x7=5040. Dat betekent dat in het rijtje 5042,5043,5044,5045,5046,5047 geen priemgetal voorkomt. Even kijken, ja klopt! Hoe zie ik dat zo snel? Dat zie ik helemaal niet zo snel, hoewel het in dit voorbeeld erg meevalt om in te zien dat 5043 en 5047 inderdaad niet priem zijn. Sterker nog: ik controleer het helemaal niet, want ik weet zeker dat mijn redenering klopt, en die zekerheid is sterker dan de zekerheid van de controle. We hebben nu een priemwoestijn met grootte 6 gemaakt.

Bestaat er ook een priemwoestijn met grootte 6 miljard? Ja, en we weten nu hoe we hem kunnen vinden, tenminste, in theorie. Het enige probleem is dat we hem in de praktijk eigenlijk niet kunnen vinden, want zo goed zijn onze computers nog niet. Maar hij is er wel! Er bestaan willekeurig grote priemwoestijnen, en dat weten we zeker, ook al kunnen we niet uitrekenen waar zo’n woestijn begint.

Maken wij wiskunde, of ontdekken wij wiskunde? Het laatste zou ik zeggen.